Calculs Scientifiques

Goal(s)

Comprendre ce qu'implique l'usage d'un ordinateur pour réaliser des calculs « numériques » par opposition à des calculs formels ou symboliques.

Maîtriser quelques applications fondamentales pour l'ingénieur.

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Alain Barraud

Content(s)

Cours

Comprendre la virgule flottante, sensibilité d'un problème, stabilité d'un algorithme. Concepts de conditionnement d'un problème. Notions sur l'analyse régressive. Quelle précision atteignable ?

Résolution des problèmes de moindres carrés, factorisation orthogonale et décomposition en valeurs singulières. Introductions de contraintes de positivité, conditions d'optimalité. Extensions au filtrage de Kalman.

Optimisation non linéaire sans contraintes. Les méthodes limitées à une variables, nombre d'or, interpolation parabolique, Newton,, l'algorithme de Brent. L'optimisation dans , directions conjuguées, méthodes de quasi newton. Conditionnement, algorithmes factorisés.

Intégration des équations différentielles ordinaires, propriétés générales des algorithmes, méthodes explicites, pas variables, la familles Runge Kutta. Les systèmes raides, introduction aux méthodes implicites multi pas.

Les systèmes dynamiques linéaires, intégration et simulation. Calcul des exponentielle et logarithme de matrices, stabilité numérique et choix du pas d'échantillonnage.

Bureaux d'Etudes

A la découverte du calcul numérique (4H) : tests de la virgule flottante, paradoxes et réalité. Un problème simple, puis difficile et enfin insoluble.

Moindres carrés avec et sans contraintes (8H) : L'approche par les équations normales puis par factorisation orthogonale. Conditionnement et stabilité numérique. Gestion des contraintes de positivité, exemples.

Optimisation non linéaires (8H) : Autour de la modélisation d'un système dynamique du second ordre. Estimation de un à trois paramètres. Comment imposer une condition initiale. Ajout d'une contrainte sur la nature de la dynamique.

Equation différentielles non linéaires (4H) : Variantes autour de l'oscillateur de Van der Pol. Analyse du ratio coût - précision, analyse du pas variable. Etude de la raideur du système en fonction d'un paramètre du modèle. Comparaison des solveurs Runge Kutta Fehlberg et Gear à pas et ordre variables. 

Simulation des systèmes dynamiques linéaires (4H) : Calculs d'exponentielles de matrice via les modèles d'états. Transformation « continu discret » et « discret continu ». Calculs de logarithmes de matrices.

Test

DS + contrôle continu

Bibliography

N. J. Higham, « Accuracy and Stability of Numerical Algorithms », SIAM, first ed. 1996.

C. W. Gear Numerical Initial Value Problems in ordinary Differential Equations, Prentice Hall 1971.

M. A. Wolfe Numerical methods for Unconstrained Optimization, Van Nostrand Reinhold, 1978.